Sommerfeld展开

原稿切片：

本页整理费米气体的低温修正。目标是把

I = \int_{0}^{\infty} ϕ (E) f (E) d E, f (E) = \frac{1}{e ^{β (E - μ)} + 1}

展开成零温积分加温度修正。

分部积分

原稿先定义

ψ (E) = \int_{0}^{E} ϕ (E^{'}) d E^{'}, ψ^{'} (E) = ϕ (E) .

于是

I = \int_{0}^{\infty} f (E) d ψ = - \int_{0}^{\infty} ψ (E) df .

边界项消失，是因为 $ψ (0) = 0$ 且 $f (E \to \infty) = 0$ 。令

x = β (E - μ), - \frac{df}{d E} = \frac{1}{k _{B} T} \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}} .

因此

I = \int_{- μ / (k_{B} T)}^{\infty} ψ (μ + k_{B} T x) \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}} d x .

低温下 $μ ≫ k_{B} T$ ，下限可近似为 $- \infty$ 。把 $ψ$ 在 $μ$ 附近展开：

ψ (μ + k_{B} T x) = ψ (μ) + k_{B} T x ψ^{'} (μ) + \frac{1}{2} (k_{B} T)^{2} x^{2} ψ^{''} (μ) + \dots .

权重函数 $\frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}}$ 是偶函数，所以奇次项积分为零，并且

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}} d x = 1, \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} \frac{e ^{x}}{( e ^{x} + 1 ) ^{2}} d x = \frac{π ^{2}}{3} .

得到核心公式：

I = \int_{0}^{μ} ϕ (E) d E + \frac{π ^{2}}{6} (k_{B} T)^{2} ϕ^{'} (μ) + \dots .

对三维非相对论费米气体，粒子数积分取 $ϕ_{N} (E) = A E^{1/2}$ 。于是

N = \frac{2}{3} A μ^{3/2} + \frac{π ^{2}}{12} A (k_{B} T)^{2} μ^{- 1/2} + \dots .

令 $N = \frac{2}{3} A E_{F}^{3/2}$ ，解得

μ (T) = E_{F} [1 - \frac{π ^{2}}{12} (\frac{T}{T _{F}})^{2} + \dots], T_{F} = \frac{E _{F}}{k _{B}} .

内能积分取 $ϕ_{U} (E) = A E^{3/2}$ 。把上面的 $μ (T)$ 代回 Sommerfeld 展开，得到

U = \frac{3}{5} N E_{F} [1 + \frac{5 π ^{2}}{12} (\frac{T}{T _{F}})^{2} + \dots] .

因此

C_{V} = (\frac{\partial U}{\partial T})_{V, N} = \frac{π ^{2}}{2} N k_{B} \frac{T}{T _{F}} + \dots .

低温费米气体只有费米面附近约 $k_{B} T$ 宽度内的粒子能被热激发，所以 $C_{V}$ 与 $T$ 成正比。