Spherical Harmonics

球函数 (Spherical Harmonics)

球函数 $Y_l^m$（实数形式，未归一）

(10.3.1)：$Y_l^m(\theta ,\phi )=P_l^m(\cos \theta )\{\cos m\phi \text{或}\sin m\phi \},m=0,1,\dots ,l$。

函数本身不带归一化因子；每个 $l$ 有 $2l+1$ 个。复数形式 (10.3.2)：$P_l^{|m|}(\cos \theta )e^{im\phi }$，$m=-l,\dots ,l$。

带 $\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi }\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}$ 的复数 $Y_l^m$ 是物理/量子约定，非本课本。

连带勒让德 $P_l^m$（由 $P_l$ 生成）

$P_l^m(x)=(1-x^2{)}^{m/2}\frac{d^m}{d{x}^m}{P}_l(x),x=\cos \theta ,P_l^0=P_l.$

关键恒等式（配 θ 要用）：$P_l^m(\cos \theta )={\sin }^m\theta \cdot P_l^{(m)}(\cos \theta )$，其中 $P_l^{(m)}:=\frac{d^m{P}_l}{d{x}^m}$。

低阶 $P_l^m(\cos \theta )$：$P_2^1=3\sin \theta \cos \theta ,P_2^2=3{\sin }^2\theta ,P_3^1=\frac{3}{2}\sin \theta (5{\cos }^2\theta -1),P_3^2=15\cos \theta {\sin }^2\theta ,P_3^3=15{\sin }^3\theta ,P_4^2=\frac{15}{2}{\sin }^2\theta (7{\cos }^2\theta -1)$。

配 θ 要用的导数：$m=1$：$P_1^{\prime }=1,P_2^{\prime }=3x,P_3^{\prime }=\frac{3}{2}(5x^2-1)$；$m=2$：$P_2^{\prime \prime }=3,P_3^{\prime \prime }=15x,P_4^{\prime \prime }=\frac{15}{2}(7x^2-1)$。

按球函数展开 (10.3.7)

$f(\theta ,\phi )={\sum }_{l=0}^{\infty }{\sum }_{m=0}^l[A_l^m\cos m\phi +B_l^m\sin m\phi ]P_l^m(\cos \theta ).$

系数（积分法，用模 $N_l^m$）：$A_l^m=\frac{1}{(N_l^m{)}^2}\iint f{P}_l^m(\cos \theta )\cos m\phi d\Omega$，$(N_l^m{)}^2=\frac{2\pi }{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\times \{\begin{array}{ll}2,& m=0\\ 1,& m\ge 1\end{array}$（$B_l^m$ 把 $\cos$ 换 $\sin$）。

配 θ 套路（多项式型角函数，免积分）

$f$ 是 $\sin \theta ,\cos \theta ,\cos m\phi ,\sin m\phi$ 的有限组合时：降 φ 定 $m$ → 提出 ${\sin }^m\theta$ → 剩下的 $\cos \theta$ 多项式按 $\{P_l^{(m)}\}$ 匹配系数（同 Legendre Polynomials 的幂↔勒让德）。例题见 例题-球函数展开。

相关：Legendre Polynomials