例题-球函数展开

例题：按球函数 $Y_l^m$ 展开（HW5 题五）

四个 $f$ 都是 $\sin \theta ,\cos \theta ,\cos m\phi ,\sin m\phi$ 的有限组合 → 展开是有限项，靠匹配、不积分。球函数定义、$P_l^m$、配 θ 通法见 Spherical Harmonics。

两步：① 降 φ（积化和差定 $m$）；② 配 θ（提出 ${\sin }^m\theta$，剩下的 $\cos \theta$ 多项式按 $\{P_l^{(m)}\}$ 匹配系数，$P_l^{(m)}=\frac{d^m{P}_l}{d{x}^m}$）。

(1) $f={\sin }^2\theta {\cos }^2\phi$

降 φ：${\cos }^2\phi =\frac{1+\cos 2\phi }{2}$ → $m=0,2$。

• $m=0$，θ 部分 $\frac{1}{2}{\sin }^2\theta$（不提因子）：写成 $\frac{1}{2}(1-{\cos }^2\theta )$，用 ${\cos }^2\theta =\frac{2P_2+P_0}{3}$ 得 ${\sin }^2\theta =\frac{2}{3}(P_0-P_2)$，故 $\frac{1}{3}{P}_0^0-\frac{1}{3}{P}_2^0$。
• $m=2$，θ 部分 $\frac{1}{2}{\sin }^2\theta$：提 ${\sin }^2\theta$ → $h=\frac{1}{2}$。配 $P_2^{\prime \prime }=3$：$\frac{1}{2}=3c_2\Rightarrow c_2=\frac{1}{6}$。

$f=\frac{1}{3}{P}_0^0-\frac{1}{3}{P}_2^0+\frac{1}{6}{P}_2^2(\cos \theta )\cos 2\phi .$

(2) $f=(1+\cos \theta )\sin \theta \cos \phi$

$m=1$，θ 部分 $(1+\cos \theta )\sin \theta$。提 $\sin \theta$ → $h=1+x$。配 $\{P_1^{\prime }=1,P_2^{\prime }=3x\}$：$1+x=c_1+3c_{2}x\Rightarrow c_2=\frac{1}{3},c_1=1$。

$f=(P_1^1+\frac{1}{3}{P}_2^1)(\cos \theta )\cos \phi .$

(3) $f=\sin 3\theta \sin \phi$

$m=1$，θ 部分 $\sin 3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta =\sin \theta (4{\cos }^2\theta -1)$。提 $\sin \theta$ → $h=4x^2-1$。配 $\{1,3x,\frac{3}{2}(5x^2-1)\}$：

$x^2:4=\frac{15}{2}{c}_3\Rightarrow c_3=\frac{8}{15};x^1:c_2=0;x^0:-1=c_1-\frac{3}{2}{c}_3\Rightarrow c_1=-\frac{1}{5}.$ $f=(-\frac{1}{5}{P}_1^1+\frac{8}{15}{P}_3^1)(\cos \theta )\sin \phi .$

(4) $f={\sin }^{2}2\theta \sin 2\phi$

$m=2$，θ 部分 ${\sin }^{2}2\theta =4{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta$。提 ${\sin }^2\theta$ → $h=4x^2$。配 $\{P_2^{\prime \prime }=3,P_3^{\prime \prime }=15x,P_4^{\prime \prime }=\frac{15}{2}(7x^2-1)\}$：

$x^2:4=\frac{105}{2}{c}_4\Rightarrow c_4=\frac{8}{105};x^1:c_3=0;x^0:0=3c_2-\frac{15}{2}{c}_4\Rightarrow c_2=\frac{4}{21}.$ $f=(\frac{4}{21}{P}_2^2+\frac{8}{105}{P}_4^2)(\cos \theta )\sin 2\phi .$