齐次化三套路（把任何题逼回”齐次方程+齐次边界”）
分离变量只能直接用在「方程齐次 + 边界齐次」上。其余情形先做下面的预处理。 核心思想统一为 ：用 吸收掉非齐次部分，让 回到能分离的标准问题。
套路 A·非齐次方程 + 齐次边界 → 本征函数展开法
方程 ，边界齐次。直接按齐次问题的本征函数 展开：
代回得强迫振动型常微分方程 ，配初值解。 源项只含 （如 常数、）时，可改用更省事的”先找定常特解”： 令 ， 满足 + 原边界 → 齐次。
套路 B·齐次方程 + 非齐次边界（不含 ）→ 减稳定解
如位势方程方形区域，或波动方程边界是常数。找一个只满足边界的简单函数 （位势问题里取 为调和的、或线性的；常数边界取 满足边界的最简解），令 ， 则 的边界齐次。若 不满足原方程，差额会进到 的方程里 → 转套路 A。
套路 C·非齐次边界含时间 → 辅助函数凑边界
边界形如 （或含 的 Neumann）。 构造线性插值辅助函数满足边界：
Neumann 端（给 ）则用 、 之类凑导数值。令 ： 边界齐次， 但方程多出 （波动）或 （热传导）这一非齐次源 → 转套路 A。
一句话决策
非齐次在方程里 → A；非齐次在边界且与 无关 → B；非齐次在边界且含 → C（C 最后总会落回 A）。