阻尼振动ODE

含阻尼项的常系数二阶ODE（特征方程法）

分离变数时，若原方程带一阶时间导数（如 $u_t$ 阻尼项），$T(t)$ 会落到 $T^{\prime \prime }+p{T}^{\prime }+qT=0(p,q\text{常数}).$ 比纯振动 $T^{\prime \prime }+qT=0$（见 题02-波动直接分离）多了个一阶项 $p{T}^{\prime }$。解法：试 $T=e^{rt}$ 代入，得 $(r^2+pr+q)e^{rt}=0$，于是 $r$ 满足特征方程 $r^2+pr+q=0,r_{\pm }=\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}.$ 两个 $r$ 各给一个独立解 $e^{r_{\pm }t}$，通解是它们的线性组合。具体长相由判别式 $\Delta =p^2-4q$ 定（设 $p,q>0$）：

$\Delta$	特征根	通解 $T(t)$	名称
$\Delta >0$	两负实根 $r_{\pm }$	$C_1{e}^{r_{+}t}+C_2{e}^{r_{-}t}$	过阻尼（单调衰减）
$\Delta =0$	重根 $r=-\frac{p}{2}$	$(C_1+C_{2}t)e^{-pt/2}$	临界阻尼
$\Delta <0$	共轭复根 $-\frac{p}{2}\pm i\beta$	$e^{-pt/2}(C_1\cos \beta t+C_2\sin \beta t)$	欠阻尼（振荡衰减）

欠阻尼里 $\beta =\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}=\sqrt{q-\frac{p^2}{4}}$。

怎么读这三行：根的实部 $-\frac{p}{2}$ 给出包络 $e^{-pt/2}$（衰减快慢由阻尼 $p$ 定）；虚部 $\beta$ 给出振荡。$\Delta <0$ 是”回复力够强、振得起来”，所以又振又衰；$\Delta \ge 0$ 是”阻尼压过回复力”，振不起来、只衰减。

两个退化情形（常用）：

• $p=0$（无阻尼）：回到 $T=C_1\cos \sqrt{q}t+C_2\sin \sqrt{q}t$，就是 题02-波动直接分离 那种。
• $q=0$（无回复力）：$r^2+pr=0\Rightarrow r=0,-p$，故 $T=C_1+C_2{e}^{-pt}$（一个常数 + 一个衰减）。

记住这张表，以后碰到 $T^{\prime \prime }+p{T}^{\prime }+qT=0$ 直接套，不必重推。