例题：半区间勒让德积分 ∫01PkPldx
（来源 HW5 一(4)）勒让德多项式在 [0,1] 上的内积——区间不对称，标准正交关系失效。考点：按 k+l 奇偶分三类，奇类用”方程相减凑微分”。
结论（直接背）
\begin{cases}
\dfrac{1}{2k+1}, & k=l,\\[3mm]
0, & k\neq l,\ k+l\ \text{偶},\\[3mm]
\dfrac{P_l(0)P_k'(0)-P_k(0)P_l'(0)}{(k-l)(k+l+1)}, & k+l\ \text{奇}.
\end{cases}$$
$P(0),P'(0)$ 取值见 [[Legendre Polynomials]]；$k+l$ 奇时一偶一奇，分子只剩一项（偶阶供 $P(0)$，奇阶供 $P'(0)$）。
## 奇类的完全展开式（最终形式）
把第三式的 $P(0),P'(0)$ 代成显式（[[Legendre Polynomials]]：$P_{2m}(0)=\dfrac{(-1)^m}{4^m}\dbinom{2m}{m}$，$P_{2n+1}'(0)=\dfrac{(-1)^n(2n+1)}{4^n}\dbinom{2n}{n}$）。记偶指标 $k=2m$、奇指标 $l=2n+1$，化简后得纯含 $m,n$ 的闭式：
$$\boxed{\,I_{2m,\,2n+1}=\dfrac{(-1)^{m+n}(2n+1)\dbinom{2m}{m}\dbinom{2n}{n}}{4^{m+n}(2n-2m+1)(2n+2m+2)}\,}$$
双阶乘等价形式（$(2m)!!=2\cdot4\cdots(2m)$，$(2m-1)!!=1\cdot3\cdots(2m-1)$，约定 $(-1)!!=1$）：
$$I_{2m,\,2n+1}=\dfrac{(-1)^{m+n}}{(2n-2m+1)(2n+2m+2)}\cdot\dfrac{(2m-1)!!}{(2m)!!}\cdot\dfrac{(2n+1)!!}{(2n)!!}.$$
查表即得，最省力（处理 $\lvert x\rvert,\,x\lvert x\rvert$ 展开尤其方便）。已与紧凑式核对：$(m,n)=(0,0)\!\to\!\tfrac12$、$(1,0)\!\to\!\tfrac18$、$(1,1)\!\to\!\tfrac18$ ✓。
## 三类怎么来的
乘积宇称为 $(-1)^{k+l}$（因 $P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)$）。
- **$k+l$ 偶**（含 $k=l$）：$P_kP_l$ 偶，折回全区间 $\int_0^1=\dfrac12\int_{-1}^1$，套正交关系得 $\dfrac{1}{2k+1}\delta_{kl}$。
- **$k+l$ 奇**：$P_kP_l$ 奇，$\int_{-1}^1=0$ 无信息，需"方程相减"。
## 奇类的方法：方程相减凑微分
这是 Sturm–Liouville 的 Lagrange 恒等式 (Lagrange identity)，通用推导见 [[Sturm-Liouville本征值问题/main|SL 本征值问题]]。$P_k,P_l$ 各满足勒让德方程，一式乘 $P_l$、一式乘 $P_k$ 相减，左边凑成全微分：
$$\dfrac{d}{dx}\big[(1-x^2)(P_kP_l'-P_lP_k')\big]=[k(k+1)-l(l+1)]\,P_kP_l.$$
在 $[0,1]$ 积分，左边化为边界项 $\big[(1-x^2)(P_kP_l'-P_lP_k')\big]_0^1$：$x=1$ 端 $(1-x^2)=0$ 消失，$x=0$ 端存活。用 $k(k+1)-l(l+1)=(k-l)(k+l+1)$ 整理，即得上面第三式。
## 算例
| $k,l$ | 类型 | 结果 | 核对 |
|------|------|------|------|
| $0,1$ | 奇 | $\dfrac12$ | $\int_0^1 x\,dx=\dfrac12$ ✓ |
| $2,1$ | 奇 | $\dfrac18$ | $\int_0^1\dfrac{3x^3-x}{2}\,dx=\dfrac18$ ✓ |
| $1,1$ | $k{=}l$ | $\dfrac13$ | $\int_0^1 x^2\,dx=\dfrac13$ ✓ |
| $0,2$ | 偶 | $0$ | $\int_0^1\dfrac{3x^2-1}{2}\,dx=0$ ✓ |