薛定谔方程

三维空间的薛定谔方程

三维空间中定义 ${\hat{p}}_x=-i\hslash \frac{\partial }{\partial x}$，${\hat{p}}_y=-i\hslash \frac{\partial }{\partial y}$，${\hat{p}}_z=-i\hslash \frac{\partial }{\partial z}$，即 $\vec{\hat{p}}=-i\hslash \nabla$。

则由 $i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=\hat{H}\psi$，对 $\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V$，

$$i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}=(\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+V)\psi =-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\nabla }^2\psi +V\psi ,{\nabla }^2=\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}.$$

球坐标下

$${\nabla }^2=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial }{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left(\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }\right)+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}.$$

正则对易关系

$\hat{r}$ 与 $\hat{p}$ 的正则对易关系

$$[{\hat{r}}_i,{\hat{p}}_j]=i\hslash {\delta }_{ij},[{\hat{r}}_i,{\hat{r}}_j]=[{\hat{p}}_i,{\hat{p}}_j]=0.$$

三维 Hilbert 空间与位置态

三维 Hilbert 空间内的态由 $\psi (x,y,z)$ 描述，即

$$L^2({\mathbb{R}}^3)\cong L^2(\mathbb{R})\otimes L^2(\mathbb{R})\otimes L^2(\mathbb{R}),$$

位置态写为 $|x,y,z⟩=|x⟩\otimes |y⟩\otimes |z⟩$。由泛函分析相关知识，还可作径向—角向分解

$$L^2({\mathbb{R}}^3)\cong L^2({\mathbb{R}}_{+},r^{2}dr)\otimes L^2(S^2,d\Omega ).$$