类氢能级与约化质量

类氢能级与约化质量（玻尔半径的陷阱）

易错点：玻尔能级正比于 $\mu$，不是反比

类氢能级常写成

$$E_n=-\frac{Z^2{\hslash }^2}{2\mu a^2}\frac{1}{n^2},$$

看上去 $\mu$ 在分母、像是 $E\propto 1/\mu$。这是陷阱：式中的玻尔半径 $a$ 本身就依赖约化质量

$$a=\frac{{\hslash }^2}{\mu e^2}(\text{Gaussian}；\text{SI 为}a=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{\mu Z{e}^2})\propto \frac{1}{\mu }.$$

把它代回去，$\frac{1}{\mu a^2}\propto \frac{1}{\mu }\cdot {\mu }^2=\mu$，于是真正的标度是

$$\boxed{E_n\propto \mu (\text{约化质量越大，束缚越深}).}$$

所以不能拿固定的氢原子 $a_0$（用 $m_e$ 算的 $0.529$Å）配上变化的 $\mu$——那样 $a_0$ 没跟着 $\mu$ 变，就会得出 $E\propto 1/\mu$ 的错误结论。要么用本系统自己的 $a\propto 1/\mu$，要么直接用下面这个把 $\mu$ 露在外面的形式。

好用的实用式

把氢的数值 $13.6$eV（其约化质量 ${\mu }_{\mathrm{H}}\approx m_e$）当基准，

$$E_n=-13.6\text{eV}\times \frac{\mu /m_e\cdot Z^2}{n^2}.$$

$\mu$ 的依赖一眼可见，不会再弄反。

应用：电子偶素 $e^{+}{e}^{-}$ 的基态/第一激发态

正负电子质量都是 $m_e$，故约化质量

$$\mu =\frac{m_e{m}_e}{m_e+m_e}=\frac{m_e}{2}=\frac{1}{2}{\mu }_{\mathrm{H}},Z=1.$$

由 $E_n\propto \mu$，电子偶素能级恰是氢的一半：

$$E_n=-13.6\text{eV}\times \frac{1/2}{n^2}=-\frac{6.8\text{eV}}{n^2}.$$

• 基态 $n=1$：$E_1=-6.8\text{eV}$。（我曾错算成 $-54.4$eV，正是把 $a_0$ 当常数、误用 $E\propto 1/\mu$ 所致。）
• 第一激发态 $n=2$：$E_2=-\frac{6.8}{4}=-1.7\text{eV}$。

简并度 $=$ 空间简并 $n^2$（${\sum }_{l=0}^{n-1}(2l+1)=n^2$）$\times$ 自旋简并 $4$（$e^{-}$ 的 $\frac{1}{2}$ 与 $e^{+}$ 的 $\frac{1}{2}$ 耦合出 $2\times 2=4$ 个自旋态，即一个单态加三重态）：

$$g_n=4n^2\Rightarrow g_1=4,g_2=16.$$

（简并度这一步原来就算对了；出错的只有能量。）