Pauli Metrics

$$\hat{\mathbf{S}}=\frac{\hslash }{2}\hat{\mathbf{\sigma }}⟺{\hat{S}}_i=\frac{\hslash }{2}{\hat{\sigma }}_i(i=x,y,z\text{ or }1,2,3)$$ $$[{\hat{S}}_i,{\hat{S}}_j]=\mathrm{i}\hslash {ϵ}_{ijk}{\hat{S}}_k⟹[{\hat{\sigma }}_i,{\hat{\sigma }}_j]=2\mathrm{i}{ϵ}_{ijk}{\hat{\sigma }}_k$$ $${\hat{\mathbf{S}}}^2=\frac{3}{4}{\hslash }^2\mathbf{I}⟹{\hat{\mathbf{\sigma }}}^2=3\mathbf{I},{\hat{\sigma }}_i^2=\mathbf{I}$$

数学上，这三条性质可以互相导出（1→2,3 | 3→1,2 | 2不可单独）：

1. $[A_i,A_j]=2\mathrm{i}{ϵ}_{ijk}{A}_k,A_i^2=I$
2. $\{A_i,A_j\}=2{\delta }_{ij}\mathbf{I}$
3. $A_i{A}_j={\delta }_{ij}\mathbf{I}+\mathrm{i}{ϵ}_{ijk}{A}_k$