Homework6

11.4 习题

一、计算下列积分： (1) ${\int }_{-1}^1{x}^2{P}_l(x)P_{l+2}(x)dx$,
(2) ${\int }_{-1}^1[x{P}_l(x){]}^{2}dx$,
(3) ${\int }_{-1}^1\ln (1-x)P_l(x)dx$
(4) ${\int }_0^1{P}_k(x)P_l(x)dx$.

二、将下列定义在 $[-1,1]$ 上的函数用勒让德函数展开为广义傅里叶级数： (1) $f(x)=x^4-3x^3$,
(2) $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& 0\le x\le 1\\ -x^2& -1\le x\le 0\end{array}$
(3) $f(x)=\frac{x+|x|}{2}$,
(4) $f(x)=\{\begin{array}{ll}x& 0\le x\le 1\\ 2x& -1\le x<0\end{array}$

三、在半径为 $a$ 的球内 ($r<a$) 求下列定解问题： $\Delta u=0,$ ${u|}_{r=a}=\{\begin{array}{ll}{u}_0& 0\le \theta <\alpha ,\\ 0& \alpha \le \theta <\pi .\end{array}$

四、在空心球壳内 ($a<r<b$) 求下列定解问题： $\Delta u=0,$ ${u|}_{r=a}=u_0,{u|}_{r=b}=u_0{\sin }^2\theta .$

五、将下列函数按球函数 $Y_l^m(\theta ,\phi )$ 展开： (1) $f(\theta ,\phi )={\sin }^2\theta {\cos }^2\phi$,
(2) $f(\theta ,\phi )=(1+\cos \theta )\sin \theta \cos \phi$,
(3) $f(\theta ,\phi )=\sin 3\theta \sin \phi$,
(4) $f(\theta ,\phi )=(\sin 2\theta {)}^2\sin 2\phi$.

六、半径为 $a$ 的均匀球体，表面温度为 ${u|}_{r=a}=P_1^1(\cos \theta )\cos \phi$。求球内稳定的温度分布。

七、在半径为 $a$ 的球内求下列泊松方程的定解问题： $\Delta u=A+B{r}^2\sin 2\theta \cos \phi ,$ ${u|}_{r=a}=0.$

八、半径为 $a$ 的热导体半球，底面温度恒定为 $0$，表面温度恒定为 $u_0$，求半球内稳定的温度分布