问题清单

Homework5 手写稿 / 现有草稿问题清单

1. 第 1 题：最终级数下标应从 $n=1$ 开始，不能写 $n=0$；初速条件只推出正弦展开中的 $B_n=0$。
2. 第 3 题：现有草稿只写到阻尼方程通解，未用初始条件求出 $\sin x$ 的余弦展开系数。
3. 第 4 题：现有草稿未写最终解；热传导时间因子应为 $e^{-a^2{k}_n^{2}t}$。
4. 第 5 题：现有草稿停在第一个子问题中途；$x=a$ 边应代入 $\sinh (n\pi a/b)$，积分变量应为 $\mathrm{d}y$。
5. 第 6 题：现有草稿只有题面，没有解答。
6. 第 8 题：题面虽写“拉普拉斯方程”，但右端非零，实际按泊松方程处理；手写稿后半系数没有整理成最终答案。
7. 第 9 题：手写稿停在 $\theta (\pi -\theta )$ 的正弦展开积分，未给出最终系数；偶数项应为零。
8. 第 10 题：未找到对应手写解答，需要完整补做。
9. 第 11 题：手写稿中分解方向可用，但 $w$ 的系数没有收成最终统一表达式。
10. 第 12 题：手写稿误用 $\sin (n\pi x/l)$，这对应两端 Dirichlet；原题是 $u(0,t)=0,u_x(l,t)=0$，应使用 $\sin ((2n+1)\pi x/(2l))$。
11. 第 13 题：手写稿主线可用，但未清楚写出零初值对应的齐次项系数；整理版补上非共振与共振两种形式。
12. 第 14 题：手写稿中热传导时间常数记号较混乱，应统一为 ${\lambda }_n=a^2{k}_n^2$；初值 $A\cos (\pi x/l)$ 的 D-N 正弦展开系数需要单独算出。
13. 第 15 题：手写稿把两种齐次化选择混在一起，后续系数没有收尾；整理版采用 $Ax\sin \omega t/l$ 齐次化边界。
14. 第 16 题：手写稿方向可用，但热方程齐次模的指数应为 $e^{-a^2{n}^2{\pi }^{2}t/l^2}$；辅助函数写法还默认 $\sin (\sqrt{\alpha }l/a)\ne 0$。
15. 第 18 题：手写稿方向可用，但热方程 D-N 模的指数应为 $e^{-a^2{k}_n^{2}t}$；系数需要补全，辅助函数写法默认相关分母不为零。

$$E_n^{(1)}=H_{mn}^{\prime },E_n^{(2)}=\sum _{m\ne n}\frac{|H_{mn}^{\prime }{|}^2}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}},|n^{(1)}⟩=\sum _{m\ne n}\frac{H_{mn}^{\prime }}{E_n^{(0)}-E_m^{(0)}}|m^{(0)}⟩$$