practice1-自旋态的时间演化

Stern–Gerlach：自旋上下分量的 $⟨z⟩(t)$

题目见 practice1.png。中子初态 $|{\psi }_0⟩=\psi (\mathbf{r},0)(\alpha |\uparrow ⟩+\beta |\downarrow ⟩)$，$⟨\mathbf{r}⟩=0$，$⟨p_x⟩=p_0$，$⟨p_y⟩=⟨p_z⟩=0$。

哈密顿量按自旋分块（关键一步）

你已算出 $\mathbf{B}=(0,0,B_0+\lambda z)$，$\hat{\mathbf{\sigma }}\cdot \mathbf{B}={\sigma }_z(B_0+\lambda \hat{z})$，故

$$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}-\mu {\sigma }_z(B_0+\lambda \hat{z}).$$

要点：${\sigma }_z$ 与轨道部分对易，且 $[\hat{H},{\sigma }_z]=0$。在 $\{|\uparrow ⟩,|\downarrow ⟩\}$ 基下 ${\sigma }_z$ 对角（本征值 $\pm 1$），所以 $\hat{H}$ 分裂成两个互不耦合的轨道哈密顿量

$${\hat{H}}_{\uparrow }=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}-\mu (B_0+\lambda \hat{z}),{\hat{H}}_{\downarrow }=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\mu (B_0+\lambda \hat{z}).$$

自旋向上的空间波包只在 ${\hat{H}}_{\uparrow }$ 下演化，向下的只在 ${\hat{H}}_{\downarrow }$ 下演化——彼此独立。$\alpha ,\beta$ 只决定各支的权重 $|\alpha {|}^2,|\beta {|}^2$，在求”自旋向上中子的 $⟨z⟩$“（条件期望）时会归一化掉，不影响结果。

你忘记的那一步：怎么”让态演化”

$\hat{H}$ 不显含 $t$，正式的演化是 $|\psi (t)⟩=e^{-i\hat{H}t/\hslash }|{\psi }_0⟩$。但本题只问 $⟨z⟩(t)$，不必解出整个 $\psi (\mathbf{r},t)$——直接对期望值用 Ehrenfest 定理（见 系统随时间的演化）：

$$\frac{d}{dt}⟨\hat{z}⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[\hat{z},\hat{H}]⟩=\frac{⟨{\hat{p}}_z⟩}{m},\frac{d}{dt}⟨{\hat{p}}_z⟩=\frac{1}{i\hslash }⟨[{\hat{p}}_z,\hat{H}]⟩=-⟨\frac{\partial V}{\partial z}⟩.$$

对每一支，$z$ 方向势能是 $z$ 的线性函数，故 $\frac{\partial V}{\partial z}$ 是常数，力是恒力：

$${\hat{H}}_{\uparrow }:V_{\uparrow }=-\mu (B_0+\lambda z),F_{\uparrow }=-\frac{\partial V_{\uparrow }}{\partial z}=+\mu \lambda ;{\hat{H}}_{\downarrow }:F_{\downarrow }=-\mu \lambda .$$

（$B_0$ 是常数势，不产生力，只是能量平移，对 $⟨z⟩$ 无贡献。）这正是匀加速运动：恒力 $\Rightarrow$ 加速度 $a_{\pm }=\pm \mu \lambda /m$。

积分得结果

$⟨{\hat{p}}_z⟩$ 是常数力的线性增长，$⟨\hat{z}⟩$ 再积一次。代入初值 $⟨z⟩(0)=0$、$⟨p_z⟩(0)=0$：

$$⟨{\hat{p}}_z{⟩}_{\pm }(t)=\pm \mu \lambda t,⟨\hat{z}{⟩}_{\pm }(t)=\frac{⟨p_z⟩(0)}{m}t+\frac{1}{2}\frac{F_{\pm }}{m}{t}^2.$$ $$\boxed{⟨\hat{z}{⟩}_{\uparrow }(t)=+\frac{\mu \lambda }{2m}{t}^2,⟨\hat{z}{⟩}_{\downarrow }(t)=-\frac{\mu \lambda }{2m}{t}^2.}$$

两支沿 $z$ 反向、随 $t^2$ 分开——这就是 Stern–Gerlach 把束流按自旋劈成两束的物理。（$x$ 方向 $⟨p_x⟩=p_0$ 守恒、$⟨x⟩=p_{0}t/m$ 是束流前进方向，本题没问。）

等价做法：海森堡绘景里解 $\hat{z}(t)$。$\frac{d\hat{z}}{dt}=\frac{{\hat{p}}_z}{m}$、$\frac{d{\hat{p}}_z}{dt}=\pm \mu \lambda$，给出 ${\hat{z}}_{\pm }(t)=\hat{z}+\frac{{\hat{p}}_z}{m}t\pm \frac{\mu \lambda }{2m}{t}^2$，取期望同样得上式。两种绘景一致。