谐振子例题：含时不确定度

通用结果见 谐振子。下文 $\beta =\sqrt{\frac{m\omega }{\hslash }}$，故 $\frac{1}{{\beta }^2}=\frac{\hslash }{m\omega }$。

题目：在 $t=0$ 时刻，一个谐振子处的状态为 $|\psi ⟩=|1⟩-i|2⟩$。求坐标的不确定度（即方差涨落）$(\Delta x{)}^2=⟨{\hat{x}}^2⟩-⟨\hat{x}{⟩}^2$ 随时间的变化。

先归一化：$⟨\psi |\psi ⟩=1+1=2$，故 $|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|1⟩-i|2⟩)$。

方法一：薛定谔绘景

由 $\hat{x}=\frac{1}{\sqrt{2}\beta }(\hat{a}+{\hat{a}}^{†})$，$\hat{x}|n⟩=\frac{1}{\sqrt{2}\beta }(\sqrt{n}|n-1⟩+\sqrt{n+1}|n+1⟩)$，即

$$\hat{x}|1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}\beta }(|0⟩+\sqrt{2}|2⟩),\hat{x}|2⟩=\frac{1}{\sqrt{2}\beta }(\sqrt{2}|1⟩+\sqrt{3}|3⟩).$$

态随时间演化（$E_1=\frac{3}{2}\hslash \omega$，$E_2=\frac{5}{2}\hslash \omega$）

$$|\psi (t)⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|1⟩e^{-i{E}_{1}t/\hslash }-i|2⟩e^{-i{E}_{2}t/\hslash })=\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-\frac{3}{2}i\omega t}(|1⟩-i{e}^{-i\omega t}|2⟩).$$

整体相位不影响期望，用 $⟨1|\hat{x}|2⟩=⟨2|\hat{x}|1⟩=\frac{1}{\beta }$、$⟨1|\hat{x}|1⟩=⟨2|\hat{x}|2⟩=0$：

$$⟨\hat{x}⟩=\frac{1}{2}[-i{e}^{-i\omega t}⟨1|\hat{x}|2⟩+i{e}^{i\omega t}⟨2|\hat{x}|1⟩]=\frac{1}{2}\cdot \frac{i}{\beta }(e^{i\omega t}-e^{-i\omega t})=-\frac{1}{\beta }\sin \omega t.$$

故 $⟨\hat{x}{⟩}^2=\frac{1}{{\beta }^2}{\sin }^2\omega t$。又 ${\hat{x}}^2=\frac{1}{2{\beta }^2}({\hat{a}}^2+\hat{a}{\hat{a}}^{†}+{\hat{a}}^{†}\hat{a}+{\hat{a}}^{†2})$，

$${\hat{x}}^2|1⟩=\frac{1}{2{\beta }^2}(3|1⟩+\sqrt{6}|3⟩),{\hat{x}}^2|2⟩=\frac{1}{2{\beta }^2}(\sqrt{2}|0⟩+5|2⟩+\sqrt{12}|4⟩).$$

由于 $⟨1|{\hat{x}}^2|2⟩=⟨2|{\hat{x}}^2|1⟩=0$，$⟨{\hat{x}}^2⟩$ 无时间依赖：

$$⟨{\hat{x}}^2⟩=\frac{1}{2}(⟨1|{\hat{x}}^2|1⟩+⟨2|{\hat{x}}^2|2⟩)=\frac{1}{2}(\frac{3}{2{\beta }^2}+\frac{5}{2{\beta }^2})=\frac{2}{{\beta }^2}.$$ $$\boxed{(\Delta x{)}^2=⟨{\hat{x}}^2⟩-⟨\hat{x}{⟩}^2=\frac{1}{{\beta }^2}(2-{\sin }^2\omega t)=\frac{1}{{\beta }^2}(1+{\cos }^2\omega t)=\frac{\hslash }{m\omega }(1+{\cos }^2\omega t).}$$

方法二：海森堡绘景

固定态 $|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|1⟩-i|2⟩)$。由 $\hat{H}=\hslash \omega ({\hat{a}}^{†}\hat{a}+\frac{1}{2})$ 及海森堡运动方程

$$\frac{d\hat{a}(t)}{dt}=\frac{1}{i\hslash }[\hat{a},\hat{H}]=\frac{1}{i\hslash }\hslash \omega \hat{a}\Rightarrow \hat{a}(t)=\hat{a}{e}^{-i\omega t},{\hat{a}}^{†}(t)={\hat{a}}^{†}{e}^{i\omega t}.$$

故 $\hat{x}(t)=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}({\hat{a}}^{†}{e}^{i\omega t}+\hat{a}{e}^{-i\omega t})$。用 $⟨{\hat{a}}^{†}⟩=\frac{\sqrt{2}}{2}i$、$⟨\hat{a}⟩=-\frac{\sqrt{2}}{2}i$：

$$⟨\hat{x}⟩=\sqrt{\frac{\hslash }{2m\omega }}(⟨{\hat{a}}^{†}⟩e^{i\omega t}+⟨\hat{a}⟩e^{-i\omega t})=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\hslash }{m\omega }}i(e^{i\omega t}-e^{-i\omega t})=-\sqrt{\frac{\hslash }{m\omega }}\sin \omega t,$$

与方法一一致。又 ${\hat{x}}^2(t)=\frac{1}{2{\beta }^2}({\hat{a}}^2{e}^{-2i\omega t}+{\hat{a}}^{†2}{e}^{2i\omega t}+{\hat{a}}^{†}\hat{a}+\hat{a}{\hat{a}}^{†})$，其中 $⟨{\hat{a}}^2⟩=⟨{\hat{a}}^{†2}⟩=0$、$⟨{\hat{a}}^{†}\hat{a}⟩=\frac{3}{2}$、$⟨\hat{a}{\hat{a}}^{†}⟩=\frac{5}{2}$，故 $⟨{\hat{x}}^2⟩=\frac{2}{{\beta }^2}$，得到与方法一相同的 $(\Delta x{)}^2=\frac{1}{{\beta }^2}(1+{\cos }^2\omega t)$。

附：定态 $|n⟩$ 的不确定关系

对谐振子定态 $|n⟩$，$⟨\hat{x}⟩=⟨\hat{p}⟩=0$，可得

$$\Delta x\Delta p=(2n+1)\cdot \frac{\hslash }{2}.$$