由幺正算符反求哈密顿量

已知时间演化 $\hat{U}$（见 时间演化算符的理解），反过来求生成它的 $\hat{H}$。这类题当成纯矩阵题做：

给定

$$U=e^{-iH\Delta t/\hslash },$$

求 $H$。

直接令

$$K=\frac{H\Delta t}{\hslash },$$

问题变成

$$e^{-iK}=U.$$

然后套这个公式：

$$\boxed{H=\frac{\hslash }{\Delta t}P\left(\begin{array}{ccc}{\theta }_1& & \\ & {\theta }_2& \\ & & \cdots \end{array}\right)P^{†}}$$

其中

$$U=P\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & \cdots \end{array}\right)P^{†},$$

并且每个 ${\theta }_j$ 由

$$\boxed{{\lambda }_j=e^{-i{\theta }_j}}$$

决定。

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无脑步骤

第一步：对角化 $U$

$$U=PD{P}^{†}.$$

这里 $D$ 是本征值组成的对角矩阵。

第二步：把每个本征值写成指数形式

$${\lambda }_j=e^{-i{\theta }_j}.$$

第三步：把 ${\theta }_j$ 放回去

$$K=P\left(\begin{array}{ccc}{\theta }_1& & \\ & {\theta }_2& \\ & & \cdots \end{array}\right)P^{†}.$$

最后

$$\boxed{H=\frac{\hslash }{\Delta t}K}$$

即可。

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套到逻辑非门

$$U_{\mathrm{not}}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right).$$

本征值是

$$1,-1.$$

对应归一化本征向量为

$$v_{+}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),v_{-}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$

所以

$$P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

因为

$$1=e^{-i\cdot 0},-1=e^{-i\pi },$$

所以

$$K=P\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& \pi \end{array}\right)P^{†}.$$

算出

$$K=\frac{\pi }{2}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right).$$

因此

$$\boxed{H=\frac{\pi \hslash }{2\Delta t}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 1\end{array}\right)}$$

这就是严格实现$U_{\mathrm{not}}$的哈密顿量。

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最短记忆版

以后遇到这种题，直接记：

$$\boxed{U=P\mathrm{diag}({\lambda }_j)P^{†}}$$ $$\boxed{{\lambda }_j=e^{-i{\theta }_j}}$$ $$\boxed{H=\frac{\hslash }{\Delta t}P\mathrm{diag}({\theta }_j)P^{†}}$$

不要想物理。就是：先对角化 $U$，再对本征值取相位，最后变回原基底。

注意：答案不唯一，因为

$$e^{-i({\theta }_j+2\pi n)}=e^{-i{\theta }_j}.$$

所以每个 ${\theta }_j$ 都可以加

$$2\pi n,n\in \mathbb{Z}.$$

计算题里一般取最简单的一组。