两个自旋的合成-单态与三重态

两个自旋 ½ 的合成：单态与三重态

两个自旋 ½ 合成”1 个单态 + 3 个三重态”是角动量耦合最基本的例子（C 宇称、电子偶素湮灭等问题都要反复用到），这里把它从头推出来。用到的升降算符见 角动量。

出发点：4 个乘积态

每个自旋 ½ 有两个态 $|\uparrow ⟩,|\downarrow ⟩$（即 $s=\frac{1}{2},m=\pm \frac{1}{2}$）。两个粒子合起来，状态空间是 $2\times 2=4$ 维，自然的基是 4 个乘积态

$$|\uparrow \uparrow ⟩,|\uparrow \downarrow ⟩,|\downarrow \uparrow ⟩,|\downarrow \downarrow ⟩.$$

（约定第一个箭头是粒子 1、第二个是粒子 2。）

总自旋与它的 $z$ 分量

定义总自旋 $\vec{S}={\vec{S}}_1+{\vec{S}}_2$。其 $z$ 分量 ${\hat{S}}_z={\hat{S}}_{1z}+{\hat{S}}_{2z}$ 直接相加，所以每个乘积态的总磁量子数 $m=m_1+m_2$：

$$|\uparrow \uparrow ⟩(m=1),|\uparrow \downarrow ⟩,|\downarrow \uparrow ⟩(m=0),|\downarrow \downarrow ⟩(m=-1).$$

但乘积态一般不是总自旋 ${\hat{S}}^2$ 的本征态（除了两端 $m=\pm 1$ 那俩）。我们要把它们重组成 ${\hat{S}}^2$ 的本征态。总自旋只能取 $S=1$（叫三重态，$m=-1,0,1$ 共 3 个）或 $S=0$（叫单态，只有 $m=0$ 一个）。数目对得上：$3+1=4$。

用升降算符把三重态推出来

最高权重态显然是 $|S=1,m=1⟩=|\uparrow \uparrow ⟩$（唯一 $m=1$ 的态）。对它作用总降算符 ${\hat{S}}_{-}={\hat{S}}_{1-}+{\hat{S}}_{2-}$。

单个自旋 ½ 由 角动量 的公式 ${\hat{S}}_{-}|s,m⟩=\sqrt{s(s+1)-m(m-1)}\hslash |s,m-1⟩$ 得 ${\hat{S}}_{-}|\uparrow ⟩=\hslash |\downarrow ⟩$，${\hat{S}}_{-}|\downarrow ⟩=0$。于是

$${\hat{S}}_{-}|\uparrow \uparrow ⟩=({\hat{S}}_{1-}+{\hat{S}}_{2-})|\uparrow \uparrow ⟩=\hslash |\downarrow \uparrow ⟩+\hslash |\uparrow \downarrow ⟩.$$

另一方面同一公式作用在 $|1,1⟩$ 上给 ${\hat{S}}_{-}|1,1⟩=\sqrt{2}\hslash |1,0⟩$。两者对比，得归一化的

$$|1,0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow \downarrow ⟩+|\downarrow \uparrow ⟩).$$

再降一次得 $|1,-1⟩=|\downarrow \downarrow ⟩$。三个三重态到齐。

单态：与 $|1,0⟩$ 正交的那个 $m=0$ 态

$m=0$ 的子空间是二维的（$|\uparrow \downarrow ⟩,|\downarrow \uparrow ⟩$ 张成）。三重态占了其中对称的组合 $|1,0⟩$，剩下与它正交的、反对称的组合就是单态：

$$|0,0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow \downarrow ⟩-|\downarrow \uparrow ⟩).$$

（可验证 ${\hat{S}}_{-}|0,0⟩=0$ 且 ${\hat{S}}_z|0,0⟩=0$，确实是孤零零的 $S=0$。）

汇总与”对称性”

$${\hat{S}}^2|S,m⟩=S(S+1){\hslash }^2|S,m⟩:\text{三重态 }S(S+1)=2,\text{单态 }=0.$$

名称	$S$	个数	态	交换两粒子
三重态	$1$	$3$	$|\uparrow \uparrow ⟩,\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow \downarrow ⟩+|\downarrow \uparrow ⟩),|\downarrow \downarrow ⟩$	对称（不变号）
单态	$0$	$1$	$\frac{1}{\sqrt{2}}(|\uparrow \downarrow ⟩-|\downarrow \uparrow ⟩)$	反对称（变号）

最后一列的”三重态对称、单态反对称”——把两个粒子对调，三重态原样不动、单态多一个负号，对应自旋部分的 $(-1{)}^{S+1}$——是后面讨论电荷共轭 C 宇称时的关键输入。